Funktion f
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Strecke von R nach A
\(\quad\)
Zur Berechnung der Strecke \(\overline{RA}\) kann eine rechtwinkliges Steigungsdreieck mit den Kathetenlängen 2 und 1 konstruiert werden. Die Strecke wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet.
\( \quad \begin{align} c^2 & = a^2 + b^2 \\[6pt] \overline{RA}^2 & = 2^2 + 1^2 \\[6pt] \overline{RA}^2 & = 5 \bigl| \hspace{2pt}\sqrt{\dots} \\[6pt] \overline{RA} & = \sqrt{5} \\[6pt] \overline{RA} & \approx 2{,}236 \end{align} \)
\(\\[1em]\)
Aufgabe 2 – Abstand Kugel zur Geraden
Wir wissen, dass die Kugel die Höhe \(1{,}5 m\) hat und setzen \(f(x)=1{,}5\)
\( \quad \begin{align} 1{,}5 &; = 0{,}4 + 1{,}6 \cdot e^{0{,}5x} & & \bigl| \hspace{2pt} -0{,}4 \\[6pt] 1{,}1 & = 1{,}6 \cdot e^{0{,}5x} & & \bigl| \hspace{2pt} :1{,}6 \\[6pt] \frac{11}{16} & = e^{0{,}5x} & & \bigl|\hspace{2pt} ln \\[6pt] ln \left(\frac{11}{16}\right) & = 0{,}5x & & \bigl| \hspace{2pt} \cdot 2 \\[6pt] 2 \cdot ln \left(\frac{11}{16}\right) & = x \\[6pt] x & \approx -0{,}75 \end{align} \)
Der Abstand zur Gerade durch den Punkt \(R\) beträgt
\( \quad -0{,}75- (-2) = 1{,}25 \textit{ m} \)
\(\\[1em]\)
Aufgabe 3 – Aussage
Der Term
\( \quad h-f(x) \)
beschreibt die Höhenabweichung der gemessenen Werte zu dem Graphen von \(f\).
Der Term
\( \quad \displaystyle{\Biggl| \sum_{i=1}^5\left( h_i-f(x_i \right) \Biggl| } =\bigl| \big( h_1 - f(x_1)\big) +\big( h_2 - f(x_2)\big) +\big( h_3 - f(x_3)\big) +\big( h_4 - f(x_4)\big) +\big( h_5 - f(x_5)\big) \bigl| \\ \)
berechnet die Summe aller Messabweichungen zu dem Graphen von \(f\).
Die Aussage besagt also: Ist die Summe der einzelnen Abweichungen vom Funktionswert von f klein, so ist die Modellierung mit (f(x)) ein gute Beschreibung der Flugbahn im Intervall [-2; 0].
Auf den ersten Blick scheint diese Aussage richtig zu sein. Ob dem wirklich so ist überprüfen wir jetzt.
Gilt die Aussage für alle Fälle?
Schauen wir, ob es einen Fall gibt für den die Aussage nicht gilt. Dazu konstruieren wir einen Fall:
Wir nehmen an, dass der Punkt \(R\) und der Punkt \(A\) eingehalten werden und brauchen 3 weitere Messwerte. Wir nehmen
\( \quad P_2(-1{,}5|1{,}3), \quad P_3(-1|1{,}35), \quad P_4(-0{,}5|1{,}5) \)
Diese konstruierte Wurfbahn ist natürlich recht unrealistisch. Aber es soll hier ja ausschließlich die Qualität des Terms untersucht werden.
Wir berechnen nun die Summe der Höhenabweichungen mit dem Term.
\( \quad \begin{align} & \bigl| \big( 1 - f(x_1)\big) +\big( 1{,}3 - f(x_2)\big) +\big( 1{,}35 - f(x_3)\big) +\big( 1{,}5 - f(x_4)\big) +\big( 2 - f(x_5)\big) \bigl| \\[8pt] & =| ( 1 - 1) + ( 1{,}3 - 1{,}156) + ( 1{,}35 - 1{,}370) + ( 1{,}5 - 1{,}646) + ( 2 - 2) | \\[8pt] & =| 0+0{,}144-0{,}02-0{,}146+0 | \\[8pt] & =|-0{,}022 | \\[8pt] & = 0{,}022 \text{ m } = 2{,}2 \text{ cm} \end{align} \\ \)
Mit 2,2 cm Gesamtabweichung erfüllen wir die Voraussetzung der Aussage. Allerdings haben wir zweimal eine Höhenabweichung von mehr als 14 cm vom Graphen von \(f\), so dass der Graph von \(f\) keine geeignete Modellierung von dieser Wurfbahn ist.
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Zusatzinformationen
Um das noch weiter zu deutlichen wird jetzt einmal weit über die Fragestellung hinaus gegangen. Dazu nehmen wir eine waagerechte Linie mit abweichenden Punkten ober- und unterhalb der Linie, d. h. Punkte mit positiven und negativen Abweichungen von der Linie:
Zählen wir alle Abweichungen zusammen, so heben sich die Abweichungen teilweise gegenseitig auf, was das Gesamtergebnis verfälscht.
Werden hingegen alle negativen Abweichungen nach oben geklappt,
wie es hier zu sehen ist, so bekommen wir ein realistisches Gesamtergebnis mit dem Term. Wir brauchen also die Beträge der einzelnen Abweichungen (vergleiche auch: Streuung). Ein Term, der das berücksichtigt, würde lauten
\( \quad \displaystyle{\sum_{i=1}^5 \Bigl| h_i-f(x_i) \Bigl|} \)
Berechnen wir nun die Abweichungen der Wurfbahn, so erhalten wir:
\( \quad \begin{align} & \bigl|1 - f(x_1)\bigr| +\bigl| 1{,}3 - f(x_2)\bigr| +\bigl| 1{,}35 - f(x_3)\bigr| +\bigl| 1{,}5 - f(x_4)\bigr| +\bigl| 2 - f(x_5)\bigr| \\[8pt] &=| 1 - 1| + |1{,}3 - 1{,}156| + | 1{,}35 - 1{,}370|+ |1{,}5 - 1{,}646| + |2 - 2 | \\[8pt] &=| 0| + |0{,}144| + |-0{,}02| + |-0{,}146| + |0 | \\[8pt] &=0{,}144 + 0{,}02 + 0{,}146 \\[8pt] &= 0{,}31 \text{ m } = 31 \text{ cm} \end{align} \)
Mit diesem Term bekommen wir dann auch ein Ergebnis, mit dem die Voraussetzung der Aussage nicht erfüllt wird und wir können davon ausgehen, dass der Graph von \(f\) keine geeignete Modellierung dieser Wurfbahn ist. Damit bleibt dann die Richtigkeit der Aussage gewahrt.
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